Συλλογές

Το Θεώρημα Ατελειότητας του Gödel μας παρουσιάζει περιορισμούς που υπάρχουν σε όλα τα συστήματα

Το Θεώρημα Ατελειότητας του Gödel μας παρουσιάζει περιορισμούς που υπάρχουν σε όλα τα συστήματα


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Τα θεωρήματα ελλιπείας του Kurt Gödel καταγράφηκαν το 1931, αλλά συζητούνται ακόμη και σήμερα και θα παραμείνουν το θέμα πολλών ακόμη συζητήσεων που θα έρθουν. Ο λόγος για τον οποίο το θεώρημα της ελλιπείας του Gödel είναι τόσο ενδιαφέρον είναι ότι στοχεύει στην εμφάνιση των συστροφών στο σύστημα που έχουμε δημιουργήσει για τον εαυτό μας.

Για να είμαστε πιο σαφείς, τα θεωρήματα ελλιπούς του Gödel δείχνουν ότι οποιοδήποτε λογικό σύστημα αποτελείται είτε από αντιφάσεις είτε από δηλώσεις που δεν μπορούν να αποδειχθούν.

ΣΧΕΤΙΖΕΤΑΙ ΜΕ: Η ΥΠΟΘΕΣΗ RIEMANN: ΕΝΑ ΠΑΛΑΙΟ 160 ΕΤΟΣ, ΕΜΠΟΡΙΟ-ΔΟΛΛΑΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Αυτά τα θεωρήματα είναι πολύ σημαντικά για να μας βοηθήσουν να κατανοήσουμε ότι τα επίσημα συστήματα που χρησιμοποιούμε δεν είναι πλήρη. (ΕΝΑεπίσημο σύστημα είναι ένα σύστημα αξιωμάτων, που περιέχει κανόνες συμπερασμάτων, που επιτρέπουν σε κάποιον να δημιουργήσει νέα θεωρήματα.) Ανοίγει επίσης το επιχείρημα ότι καμία θεωρία στη φυσική, στα μαθηματικά ή σε κάθετα δεν μπορεί ποτέ να είναι 100% σίγουρη.

Για πολύ καιρό, οι μαθηματικοί ενοχλήθηκαν από το γεγονός ότι δεν μπορούσαν να αποδείξουν προφανή πράγματα, λόγω της έλλειψης μεθόδων για να το κάνουν.

Στη δεκαετία του 1900, υπήρχε μια τάση τυποποίησης των μαθηματικών, βοηθώντας τους μαθηματικούς να λύσουν τα δυσκολότερα προβλήματα, δουλεύοντας προς μια θεωρία των πάντων - μια ενοποιητική θεωρία για όλα τα μαθηματικά.

Ωστόσο, τα θεωρήματα πληρότητας του Gödel έδειξαν ότι μια τέτοια θεωρία για όλα δεν θα ήταν δυνατή. Δεν μπορούν να αποδειχθούν όλα, καθώς θα υπάρχουν πάντα δηλώσεις στα μαθηματικά που δεν μπορούν ούτε να αποδειχθούν ούτε να απορριφθούν.

Οποιοδήποτε σταθερό τυπικό σύστημα F εντός του οποίου μπορεί να πραγματοποιηθεί ορισμένη ποσότητα στοιχειώδους αριθμητικής είναι ελλιπής. δηλαδή, υπάρχουν δηλώσεις της γλώσσας του F που δεν μπορούν ούτε να αποδειχθούν ούτε να απορριφθούν στο F.

Σε αυτήν τη δήλωση, πρέπει να δώσετε προσοχή στις δύο λέξεις «συνεπείς» και «ελλιπείς».

Ένα σύστημα είναι Σταθερός όταν οι δηλώσεις που περιέχει δεν έχουν αντιφάσεις.

Ένα σύστημα είναι Ατελής όταν όλες ή μερικές από τις δηλώσεις που περιέχονται σε αυτήν δεν μπορούν να αποδειχθούν ή να απορριφθούν.

Το θεώρημα δηλώνει ότι ένα σύστημα φά που δεν έχει καμία αντίφαση των δηλώσεων όταν εφαρμόζεται στην στοιχειώδη αριθμητική θα έχει αξιώματα που δεν μπορούμε ούτε να αποδείξουμε ούτε να διαψεύσουμε.

Τώρα, μπορείτε να ρωτήσετε γιατί δεν μπορούμε να διαψεύσουμε πλήρως ή να αποδείξουμε κάτι. Στα μαθηματικά, τα αξιώματα είναι δηλώσεις ή προτάσεις που θεωρούνται καθιερωμένες, αποδεκτές ή αυτονόητα αληθινές και δεν χρειάζεται να αποδειχθούν στο θεώρημα.

Τα αξιώματα είναι πολύ σημαντικά στα μαθηματικά επειδή βοηθούν τον μαθηματικό να επεκτείνει το πεδίο σπουδών τους χωρίς να χρειάζεται να αποδείξει ξανά κάθε πτυχή του θεωρήματος.

Ωστόσο, το πρώτο θεώρημα της ατελούς ολοκλήρωσης του Gödel δηλώνει ότι ορισμένες αριθμητικές αλήθειες δεν είναι αποδεδειγμένες, διότι θα απαιτούσε ένα επίσημο σύστημα που να ενσωματώνει μεθόδους που υπερβαίνουν το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείται για την εξαγωγή τους.

Για οποιοδήποτε συνεπές σύστημα F εντός του οποίου μπορεί να πραγματοποιηθεί μια ορισμένη ποσότητα στοιχειώδους αριθμητικής, η συνέπεια του F δεν μπορεί να αποδειχθεί στο ίδιο το F.

Πρόκειται για επέκταση του πρώτου θεωρήματος ατελούς και δείχνει ότι ένα επίσημο σύστημα που ισχυρίζεται ότι είναι συνεπές δεν μπορεί να αποδείξει ότι δεν έχει αντιφάσεις. Στην περίπτωση του δεύτερου θεωρήματος,φά πρέπει να περιέχει λίγο περισσότερο αριθμητική από ό, τι στην περίπτωση του πρώτου θεώρηματος.

Ο Gödel απέδειξε αυτό το θεώρημα χρησιμοποιώντας το παράδοξο του ψεύτη.

Σκεφτείτε τη δήλωση "Ψέμα." Το "ψέμα" είναι αντιφατικό, γιατί αν είναι αλήθεια, δεν είμαι ψεύτης και είναι ψεύτικο. και αν είναι ψεύτικο, είμαι ψεύτης, έτσι είναι αλήθεια.

Επομένως, η δήλωση δεν μπορεί ποτέ να αποδείξει ή να διαψεύσει.

Πριν από τα θεωρήματα του Gödel, ο μαθηματικός κόσμος διέθετε το πρόγραμμα του Hilbert. Αυτό διατυπώθηκε από τον David Hilbert στις αρχές του 20ου αιώνα για να τεθεί τέλος στα παράδοξα που βρέθηκαν στη Θεωρία του Σετ. Ζήτησε την τυποποίηση όλων των μαθηματικών σε αξιωματική μορφή, μαζί με μια απόδειξη ότι αυτός ο αξιωματισμός των μαθηματικών είναι συνεπής.

Αυτά τα παράδοξα γίνονταν αρκετά προκλητικά για τους μαθηματικούς. Έτσι, ο Χίλμπερτ διαίρεσε τις μαθηματικές δηλώσεις σε δύο - Περιεχόμενο και Ιδανικό.

Το περιεχόμενο των μαθηματικών θεωρείται εγγενώς συνεπές και αριθμητικό. Τα ιδανικά μαθηματικά είναι μαθηματικά με καθοριστική αξία στην επιστήμη ή μαθηματική απλότητα.

Στην ουσία, τα ιδανικά μαθηματικά είναι εννοιολογικά, ενώ τα πεπερασμένα μαθηματικά ή τα περιεχόμενα μαθηματικά έχουν πρακτική χρήση.

Για να φέρει μια αίσθηση σταθερής αρχής στα μαθηματικά, ο Χίλμπερτ πρότεινε ότι τα μαθηματικά θα πρέπει να βασίζονται σε μια αποδεκτή, συνεπή βάση αξιώσεων. Ο Χίλμπερτ το ονόμασε «οικονομική άποψη».

Ωστόσο, τα θεωρήματα πληρότητας του Gödel αντέκρουσαν τα επιχειρήματα του προγράμματος Hilbert. Τα θεωρήματα του Gödel που δηλώνουν ότι οποιαδήποτε συστήματα που περιέχουν αριθμητική θα έχουν επιχειρήματα που δεν μπορούμε ούτε να αποδείξουμε ούτε να απορρίψουμε και ότι δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι ένα μαθηματικό σύστημα είναι συνεπές, ρίχνει το επιχείρημα σχετικά με την οικονομική συνοχή έξω από το παράθυρο.

Το θεώρημα του Gödel έπληξε πολύ το πρόγραμμα του Χίλμπερτ και οι μαθηματικοί σταμάτησαν να χρησιμοποιούν την προσέγγιση για την αξιολόγηση οικονομικών και ιδανικών συστημάτων. Ο Gödel απέδειξε ουσιαστικά ότι σε οποιονδήποτε κλάδο των μαθηματικών, θα υπάρχουν επιχειρήματα ότι κανείς δεν μπορεί ούτε να αποδείξει ούτε να διαψεύσει.

Αυτό άνοιξε μια ποικιλία επιχειρημάτων, όχι μόνο στα μαθηματικά αλλά και σε άλλους τομείς της επιστήμης και της λογικής.

Για παράδειγμα, το θεώρημα του Gödel σημαίνει ότι δεν θα μπορέσετε ποτέ να καταλάβετε πραγματικά τον εαυτό σας, επειδή το μυαλό σας περιέχεται σε ένα κλειστό σύστημα και μπορεί να γνωρίζει τα πράγματα μόνο από τη δική του άποψη.

Με τα θεωρήματα ελλιπείας του Gödel, γνωρίζουμε ότι οποιαδήποτε διαδικασία που χειρίζεται τη βασική αριθμητική θα έχει δηλώσεις τις οποίες δεν μπορούμε να αποδείξουμε ή να απορρίψουμε. Με μια σύγχρονη έννοια, αυτό σημαίνει ότι δεν μπορείτε να δημιουργήσετε έναν μεταγλωττιστή ή ένα τέλειο antivirus.

Τα θεωρήματά του επέτρεψαν την εξαγωγή πολλών αποτελεσμάτων σχετικά με τα όρια των υπολογιστικών διαδικασιών. Ένα εξέχον παράδειγμα είναι η επίλυση του προβλήματος διακοπής.

Ένα πρόβλημα διακοπής είναι ένα πρόβλημα να ανακαλύψουμε εάν ένα πρόγραμμα με μια δεδομένη είσοδο θα σταματήσει κάποια στιγμή ή θα συνεχίσει να τρέχει σε έναν άπειρο βρόχο. Αυτό το πρόβλημα απόφασης είναι χρήσιμο για την απόδειξη περιορισμών προγραμματισμού.

Η δήλωση του Gödel ότι υπάρχουν περισσότερα πράγματα που είναι αληθινά από όσα μπορείτε να αποδείξετε, μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι η πίστη και ο λόγος δεν αλληλοεξαρτώνται, αλλά είναι αλληλεξαρτώμενες. Όλες οι μορφές λογικής θα έχουν κάτι που δεν μπορείτε να αποδείξετε.

Το θεώρημα του Gödel έχει χρησιμοποιηθεί ακόμη και ως λογικό κατασκεύασμα για να αποδείξει την ύπαρξη του Θεού (η οντολογική απόδειξη του Gödel).

Τα θεωρήματα δεν σημαίνουν το τέλος των μαθηματικών αλλά ήταν ένας νέος τρόπος απόδειξης και απόρριψης δηλώσεων που βασίζονται στη λογική. Το θεώρημα του Gödel μας έδειξε τους περιορισμούς που υπάρχουν σε όλα τα λογικά συστήματα και έθεσε τα θεμέλια της σύγχρονης επιστήμης των υπολογιστών.



Σχόλια:

  1. Benicio

    Λυπάμαι, αλλά νομίζω ότι κάνεις λάθος.Είμαι σίγουρος. Μπορώ να υπερασπιστώ τη θέση μου. Email me at PM, we will discuss.

  2. Achak

    Τι διασκεδαστική ερώτηση

  3. Aviram

    Συμμετέχω. So happens. Μπορούμε να επικοινωνούμε πάνω στο θέμα αυτό. Εδώ ή σε PM.

  4. Alixandre

    It does not quite fit me. Ποιος άλλος μπορεί να προτείνει;



Γράψε ένα μήνυμα